单位球面上三点点积相关不等式的证明问询

各位好，我最近在研究单位球面三点的相关性质时遇到了一个不等式证明的问题，希望能得到大家的帮助：

给定三个互不相同的点 $p_1,p_2,p_3 \in S^2 = {x \in \mathbb{R}^3 \mid \lVert x \rVert = 1}$，我需要证明：

$$
\begin{align*}
J &:=(p_1p_2 - 1)^2 + (p_1p_3 - 1)^2 + (p_2p_3 - 1)^2\
&\qquad - (p_1p_2 - p_1p_3)^2 - (p_1p_3 - p_2p_3)^2 - (p_2p_3 - p_1p_2)^2\
&> 0
\end{align*}
$$

这里我用 $p_ip_j := p_i\cdot p_j$ 来简化表示 $\mathbb{R}^3$ 中的标准点积，方便阅读和节省空间。

我目前的一些观察： #

• 由于所有点都在单位球面上，因此任意两点的点积满足 $p_ip_j \in [-1, 1)$。
• 我发现可以构造让 $J$ 趋近于 $0^+$ 的情况：比如取 $p_1 = -p_2$，然后让 $p_3$ 无限趋近于 $p_1$，此时 $p_1p_2 = -1$，$p_1p_3 \to 1$，$p_2p_3 \to -1$，代入计算可得 $J$ 趋近于 $(-2)²⁺⁰2+(-2)^2-(-2)2-2^2-02=0$。
• 如果不考虑三点在单位球面上的约束，让点积自由取值的话，$J$ 可以为负。比如取 $p_1p_2=-1, p_1p_3=0, p_2p_3=0.9$，此时计算得 $J=-0.41<0$。

我的思路与遇到的瓶颈： #

我认为正是三点在单位球面上的相互约束保证了 $J>0$ 成立，但一直无法证明：不存在这样的三点组合，能产生那些让 $J$ 为负的点积值。另外我猜测只有当 $p_i = p_j$（即两点重合）时 $J=0$，不过还没验证这个猜想。

我尝试过一些简化思路，比如固定其中两个点，把第三个点的点积用夹角约束（比如将三点都放在xy平面上，用 $\theta_{ij}$ 表示两点间的夹角，此时 $p_ip_j=\cos\theta_{ij}$），但就算这样简化后，还是没能推进证明。

补充背景（仅供参考）： #

这个 $J$ 是用于分类二次曲线的判别式之一。过 $p_1,p_2,p_3$ 的平面可以表示为 $H = {p_1 + s(p_2-p_1) + t(p_3-p_1) \mid s,t \in \mathbb{R}}$，单位球面 $S^2$ 和平面 $H$ 的交线是 $\mathbb{R}^3$ 中的一个圆。证明 $J>0$ 可以说明，在 $s-t$ 平面（配置空间）中对应的解曲线是一个椭圆，而且这个椭圆显然经过 $(s,t) = (0,0), (1,0), (0,1)$ 这三个点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hhliu