秩相同的ℤ-模子模是否与原模相等的问题

嘿，这个问题问得很关键——答案是不能直接推出$M=N$，其实有不少简单直观的反例能说明这一点，我给你梳理几个：

• 先从最基础的秩1场景入手：取$M=\mathbb{Z}$（这是代数数域$\mathbb{Q}$里的$\mathbb{Z}$-模），它的子模$N=2\mathbb{Z}$，显然$N$和$M$的秩都是1，但你肯定清楚$2\mathbb{Z}$是$\mathbb{Z}$的真子模，两者完全不相等。

• 再看代数数域里的高秩例子，比如选代数数域为$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$，令$M=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$，这是个秩2的$\mathbb{Z}$-模（一组基是$1,\sqrt{2}$）。我们取$N=2\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$，也就是所有形如$2a+2b\sqrt{2}$（$a,b\in\mathbb{Z}$）的元素构成的子模，它的秩同样是2（基为$2,2\sqrt{2}$），但显然$N$是$M$的真子模，因为$1\in M$但$1$根本不在$N$里。

• 还能构造更“非平凡”的例子：还是在$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$中，取$M=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$，$N=\mathbb{Z}+2\mathbb{Z}\sqrt{2}$，这个子模的秩也是2（基是$1,2\sqrt{2}$），但它不等于$M$，因为$\sqrt{2}\in M$但$\sqrt{2}$不在$N$中。

本质原因在于，$\mathbb{Z}$是环而非域，$\mathbb{Z}$-模和域上的向量空间有着本质区别——向量空间里，维数（对应模的秩）相同的子空间如果包含于原空间，那必然和原空间相等；但$\mathbb{Z}$-模没有这个性质，同秩的子模可以是原模的“缩放版”，或者对部分元素做了限制的版本，只要不是整个模本身，就是真子模。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zyy