一维W¹¹(Ω)中有界序列弱*收敛后的连续性与一致收敛性问题

嘿，这个问题问到点子上了，咱们可以结合你提到的思路一步步拆解清楚～

首先先明确问题背景：取$\Omega=[0,1]$，给定$W^{{1,1}(\Omega)$中的有界序列${u_n}$，已知存在子列弱*收敛到$L}\infty(\Omega)$中的$u$。现在要判断两个结论是否必然成立：

• $u$一定是连续的吗？
• ${u_n}$一定一致收敛到$u$吗？（即$\sup_{x \in \Omega}|u_{n}(x)-u(x)| \to 0$当$n \to \infty$时）

先回忆$W^{1,1}(\Omega)$的基本性质 #

你说得对，$W^{1,1}(0,1)$里的函数都是绝对连续的，而紧区间上的绝对连续函数必然是一致连续的，所以每个$u_n$确实都一致连续。但这里的关键是：弱*收敛是积分意义下的收敛，并不继承原序列的一致连续性或点态收敛的性质，咱们可以用具体的反例来验证。

构造反例：逼近跳跃函数的序列 #

咱们来构造一个符合要求的序列：
对每个正整数$n$，定义$u_n(x)$如下：

• 当$x \in [0, \frac{1}{2} - \frac{1}{n}]$时，$u_n(x) = -1$；
• 当$x \in [\frac{1}{2} + \frac{1}{n}, 1]$时，$u_n(x) = 1$；
• 当$x \in (\frac{1}{2} - \frac{1}{n}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n})$时，$u_n(x)$是从-1到1的线性过渡函数。

验证${u_n}$在$W^{1,1}(\Omega)$中有界

计算$W^{1,1}$的范数：

• $L^{1$范数：$\int_0}1 |u_n(x)|dx \leq \int_0^1 1 dx = 1$，显然有界；
• 导数的$L^{1$范数：$u_n$的导数在过渡区间是$n$（区间长度为$\frac{2}{n}$，函数从-1到1，斜率为$\frac{2}{\frac{2}{n}}=n$），其余区间导数为0，所以$\int_0}1 |u_n'(x)|dx = n \cdot \frac{2}{n} = 2$，也有界。
  因此整个序列在$W^{1,1}(\Omega)$中的范数是有界的。

看弱*收敛的极限$u$

这个序列的弱极限是跳跃函数：
$$u(x) = \begin{cases} -1, & x \in [0, \frac{1}{2}) \ 1, & x \in (\frac{1}{2}, 1] \end{cases}$$
（$x=\frac{1}{2}$处的值不影响弱收敛，因为单点集测度为0）

验证弱收敛：对任意$f \in L^1(\Omega)$，
$$\int_0^1 u_n(x)f(x)dx = \int_0^{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}} (-1)f(x)dx + \int_{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}} u_n(x)f(x)dx + \int_{\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}^1 1 \cdot f(x)dx$$
当$n \to \infty$时，中间过渡区间的长度$\frac{2}{n}$趋于0，而$f$是$L^1$可积的，所以中间项的绝对值$\leq \sup_{x \in 过渡区}|u_n(x)| \cdot \int_{过渡区}|f(x)|dx \leq 1 \cdot ||f||1 \cdot \frac{2}{n} \to 0$。
剩下的两项就是$\int_0^{\frac{1}{2}} (-1)f(x)dx + \int{\frac{1}{2}}^1 1 \cdot f(x)dx = \int_0^1 u(x)f(x)dx$，满足弱收敛的定义。

回答原问题 #

1. $u$是否一定连续？
   显然不是，咱们构造的$u$在$x=\frac{1}{2}$处有跳跃间断点，完全不连续，所以第一个结论不成立。

2. ${u_n}$是否一定一致收敛到$u$？
   也不成立。观察$\sup_{x \in \Omega}|u_n(x)-u(x)|$：
   对任意$n$，在$x=\frac{1}{2}$处，$u_n(\frac{1}{2})=0$，而$u(x)$在$x=\frac{1}{2}$左侧是-1、右侧是1，所以$|u_n(\frac{1}{2}) - u(x)|=1$（不管取左侧还是右侧的$u$值），这个上确界始终是1，不会趋于0，因此一致收敛不成立。

补充一点理解 #

虽然每个$u_n$都是一致连续的，但它们的一致连续“程度”是不一致的——这个序列的Lipschitz常数是$n$，随着$n$增大趋于无穷，所以没办法得到整个序列的一致收敛性。而弱*收敛只要求“积分平均”意义下的收敛，不需要点态或一致的收敛，这就是两者的核心区别。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者duelspace