Evans《偏微分方程》中Morrey不等式证明的一个估计疑问
嘿，这个问题一点都不傻！其实这就是Holder不等式的直接应用，咱们一步步拆解清楚：
首先，我们要证的就是这个积分平均的估计：
$$\overset{\circ}{\int_{B(x,1)}} |u(y)| dy = \frac{1}{m(B(0,1))}\int_{B(x,1)} |u(y)| dy \leq C |u|_{L^p(B(x,1))}$$
这里$m(B(x,1))$是n维单位球的Lebesgue测度——因为平移不改变测度，$m(B(x,1))=m(B(0,1))$，这是个只和维度n有关的固定常数。
回忆Holder不等式的形式：对于可测区域$A$上的函数$f,g$，以及共轭指数$p,q$（满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$），有
$$\int_A |f(y)g(y)| dy \leq |f|{L^p(A)} \cdot |g|{L^q(A)}$$
我们这里取$f(y)=|u(y)|$，$g(y)=1$（常数函数），代入Holder不等式到单位球$B(x,1)$上：
$$\int_{B(x,1)} |u(y)| \cdot 1 dy \leq |u|{L^p(B(x,1))} \cdot |1|{L^q(B(x,1))}$$
计算右边的$|1|{L^q(B(x,1))}$：
$$|1|{L^q(B(x,1))} = \left( \int_{B(x,1)} 1^q dy \right)^{1/q} = m(B(x,1))^{1/q} = m(B(0,1))^{1/q}$$
把这个结果代回积分平均的式子：
$$\frac{1}{m(B(0,1))}\int_{B(x,1)} |u(y)| dy \leq \frac{1}{m(B(0,1))} \cdot |u|_{L^p(B(x,1))} \cdot m(B(0,1))^{1/q}$$
接下来化简常数部分：
因为$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，所以$\frac{1}{q}=1-\frac{1}{p}$，代入指数后：
$$\frac{1}{m(B(0,1))} \cdot m(B(0,1))^{1/q} = m(B(0,1))^{1/q - 1} = m(B(0,1))^{-\frac{1}{p}}$$
而$m(B(0,1))^{-\frac{1}{p}}$是一个只依赖于维度$n$和指数$p$的固定常数，我们把它记为$C=C_{n,p}$，就得到了：
$$\overset{\circ}{\int_{B(x,1)}} |u(y)| dy \leq C |u|_{L^p(B(x,1))}$$
本质上，这是有界区域上Lp到L1的嵌入性质——因为单位球是有界区域，当$p>1$（题目里$n<p<\infty$，显然$p>1$）时，Lp空间中的函数必然属于L1空间，而这个嵌入的范数就是由Holder不等式给出的、只依赖于区域测度和指数的常数，完全不依赖于函数$u$，正好符合Morrey不等式对常数的要求。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ssay
