关于Husemöller《椭圆曲线》中定理4.1反向推导证明的困惑求助

各位好，我最近在啃Husemöller的《椭圆曲线》，卡在了定理4.1的反向推导上，实在搞不定，来求助大家！

先补充一下背景：Anthony Knapp的《Elliptic curves》第85页有相关证明，但我主要卡在Husemöller的版本里——第二版第38页、第一版第37页的这个定理：

(4.1) Theorem : 设$E$是定义在域$k$上的椭圆曲线，方程为
$$y^2 = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3 + ax^2 +bx + c \ \text{其中} \ \alpha, \beta, \gamma \in k.$$
对于$(x',y') \in E(k)$，存在$(x,y) \in E(k)$使得$2(x,y)=(x',y')$当且仅当$x'-\alpha$、$x'-\beta$、$x'-\gamma$都是$k$中的平方元。

我能理解正向推导的部分——如果$-\alpha$、$-\beta$、$-\gamma$都是平方元，那存在$(x,y)$满足$2(x,y)=(0,y')$。但反向推导死活绕不过来：如果存在这样的$(x,y)$，为什么$-\alpha$、$-\beta$、$-\gamma$必须全是$k$中的平方元呢？

我注意到作者在证明过程中，找$2(x,y)=(0,y')$的解时，会把$(x'-\alpha)$这类项替换成$\alpha$之类的。我自己也试过一些思路：

• 一开始想过“三个平方根的和不是有理数”，但马上就被反例打脸了：$\sqrt{8} + \sqrt{18} -\sqrt{50} = 0$，这说明这个思路根本不成立。
• 后来又试着看加倍公式里的四个$\lambda$，尤其是把$\lambda_1$和$\lambda_2$加起来想找矛盾，但问题在于我没法确定这两个$\lambda$都属于域$k$——我只知道因为存在$k$上的点$(x,y)$，所以至少有一个$\lambda$是$k$中的元素，但没法保证全部都是。

这问题卡我好几天了，快把我逼疯了，有没有大佬能指点一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Identity