如何让SymPy使用tanh加法公式化简含artanh的表达式？

问题场景 #

需要计算形如 q = tanh(∑_{x ∈ S} artanh x) 的表达式，其中所有x ∈ S都是有理数。根据双曲正切加法公式：

tanh(x + y) = (tanh x + tanh y)/(1 + tanh x tanh y)
理论上可以推导出q的精确有理值，但SymPy默认的化简工具无法直接处理这类式子。

遇到的问题 #

以简单两项为例：

from sympy import tanh, artanh, simplify
expr = tanh(artanh(1/3) + artanh(2/3))
print(simplify(expr))  # 输出原表达式，未化简

尝试过以下操作均无法得到预期结果：

• 调用表达式的.expand()方法
• 使用.expand(power_exp=True)参数
• 传入"deep"或"basic"参数的扩展操作
• 错误认为tanh没有对应的双曲函数扩展方法

解决方案 #

使用SymPy的expand_trig()函数，它支持双曲函数的展开化简：

from sympy import tanh, artanh, expand_trig
expr = tanh(artanh(1/3) + artanh(2/3))
result = expand_trig(expr)
print(result)  # 输出 3/4

该函数会自动应用双曲正切的加法公式，结合反双曲正切的性质，最终得到精确的有理结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Max