带可变步长的修正二项式随机游走的分布

嘿，这个问题问得挺有意思的！咱们先从熟悉的传统二项随机游走入手，再一步步拆解这个带可变步长的版本。

先回顾传统二项随机游走 #

传统二项随机游走里，每一步的步长固定为1，向左、向右移动的概率都是0.5。整个游走的位置可以表示为：

S = X_1 + X_2 + ... + X_n

这里的每个X_i都是独立同分布（iid）的随机变量，取值要么是+1要么是-1，概率各占一半。

可变步长的修正版本分析 #

现在咱们把步长改成每一步各不相同：假设第i步的步长为a_i（可以是任意非零实数，向左移动对应-a_i，向右对应+a_i），那么修正后的游走位置就变成了：

S = \varepsilon_1 a_1 + \varepsilon_2 a_2 + ... + \varepsilon_n a_n

其中\varepsilon_i是独立的伯努利型随机变量，满足P(\varepsilon_i=1)=P(\varepsilon_i=-1)=0.5（也可以等价表示为\varepsilon_i = 2B_i - 1，其中B_i \sim \text{Bernoulli}(0.5)）。

这个分布的核心性质

• 均值：因为每个E[\varepsilon_i a_i] = a_i \times (0.5 \times 1 + 0.5 \times (-1)) = 0，所以整个游走位置的期望E[S] = 0，和传统版本一样是对称分布。
• 方差：方差是各步贡献的方差之和，即\text{Var}(S) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(\varepsilon_i a_i)。由于\text{Var}(\varepsilon_i) = E[\varepsilon_i^2] - (E[\varepsilon_i])^2 = 1 - 0 = 1，因此最终方差为\sum_{i=1}^n a_i^2——这和传统版本的方差n（因为每步a_i=1，平方和为n）形成了区别。

和已知分布的关联 #

这个修正后的分布其实和不少经典分布有联系：

• 回到传统二项分布：如果所有步长都相等（即a_i=1对所有i），那么S = 2B - n，其中B \sim \text{Binomial}(n, 0.5)（B是n步中向右走的次数）。这时候S就是传统对称二项分布经过平移后的结果。
• 加权伯努利和分布：如果把\varepsilon_i转换为0/1型伯努利变量Y_i = (\varepsilon_i + 1)/2，那么S = 2\sum_{i=1}^n a_i Y_i - \sum_{i=1}^n a_i。这里的\sum_{i=1}^n a_i Y_i是等概率加权伯努利和，属于离散格子分布的一种（所有可能的取值都是\sum \pm a_i的组合，构成一个离散点集）。
• 大样本下的正态近似：当步数n足够大时，满足Lindeberg条件（比如没有单个步长的平方占总方差的比例过大），根据中心极限定理，S会趋近于正态分布N(0, \sum_{i=1}^n a_i^2)——这和传统随机游走的大样本行为一致，只是方差由步长平方和决定。
• 递推式的概率质量函数：对于有限步数，我们可以用递推的方式计算概率：从第1步开始，第k步的所有可能取值是第k-1步的取值分别加上+a_k和-a_k，对应概率相加。比如n=2时，若a₁≠a₂，则可能取值为a₁+a₂、a₁-a₂、-a₁+a₂、-a₁-a₂，每个概率都是0.25；若a₁=a₂，则会出现取值重合（a₁-a₂=0），此时概率分布为P(S=2a₁)=0.25，P(S=0)=0.5，P(S=-2a₁)=0.25，回到传统情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者david