如何利用全期望公式计算几何分布的期望？

嘿，我完全懂你的困惑——题目没指定Y确实让人卡壳，不过你的教授让自己找Y的话，选一个能把几何分布的试验过程拆解开的随机变量就好，最经典的选择就是第一次试验的结果，刚好能完美适配全期望公式！

先明确我们的变量定义：

• 设$X$是服从几何分布的随机变量，代表第一次成功时完成的试验次数，单次试验成功概率为$p$，失败概率$q=1-p$；
• 定义辅助随机变量$Y$：$Y=1$表示第一次试验成功，$Y=0$表示第一次试验失败。

接下来用全期望公式$E(X) = E[E(X | Y )]$来推导：

首先计算两种情况下的条件期望：

• 当$Y=1$时，第一次试验就成功了，所以$X=1$，因此$E(X|Y=1)=1$；
• 当$Y=0$时，第一次试验失败了，这相当于我们要从第二次试验开始重新计数，此时已经消耗了1次试验，后续的期望和原$X$的期望一致，所以$E(X|Y=0)=1 + E(X)$；

然后代入全期望公式，结合$P(Y=1)=p$、$P(Y=0)=q$：
$$
\begin{align*}
E(X) &= E(X|Y=1)P(Y=1) + E(X|Y=0)P(Y=0) \
&= 1 \cdot p + (1 + E(X)) \cdot q
\end{align*}
$$

接下来解这个方程：
展开右边可得$E(X) = p + q + qE(X)$，因为$p+q=1$，所以：
$$
E(X) - qE(X) = 1
$$
提取公因式$E(X)(1 - q) = 1$，而$1-q=p$，最终得到：
$$
E(X) = \frac{1}{p}
$$

再看你之前尝试的求和式，其实是对应了全期望公式展开后的离散形式：
$$
E[E(X|Y)] = \sum_{y=0}^1 \sum_{x=1}^\infty x\ P[X=x|Y=y]\ P[Y=y]
$$
当$y=1$时，只有$x=1$有非零概率，所以这部分就是$1 \cdot P(X=1|Y=1) \cdot P(Y=1) = 1 \cdot 1 \cdot p = p$；当$y=0$时，$x$从2开始，此时$P(X=x|Y=0)=P(X=x-1)$（因为第一次失败后，后续相当于重新开始计数），所以这部分求和就是$\sum_{x=2}^\infty x\ P(X=x-1)\ q$，令$k=x-1$，则求和变为$q\sum_{k=1}^\infty (k+1)P(X=k) = q(E(X)+1)$，把两部分加起来就和我们之前的推导一致啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user38473