关于Gromov《黎曼和非黎曼空间的度量结构》中完备度量空间成为长度度量空间证明的两处疑问

架构老林

2026-4-21

最近在读Misha Gromov的《Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces》时，我对定理1.8的证明有两个地方搞不太明白，先把定理的核心表述整理一下：

定理核心重述：设$(X,d)$是完备度量空间，满足对任意$x,y \in X$和任意$\varepsilon > 0$，存在点$z \in X$使得
$$\sup( d(x,z), d(z,y) ) \le \frac{1}{2} d(x,y) + \varepsilon$$
则$(X,d)$是路径（长度或内蕴）度量空间。

书中给出的证明思路是：先证明$X$中任意两点都存在连续曲线连接，再证明这条曲线的长度可以被任意逼近到两点间的距离。针对这个证明，我有两个疑问：

疑问一：证明中的乘积项来源
我完全搞不懂证明里那个乘积项是怎么来的。我自己推导的时候，只能得到左边小于一个求和式；而且如果选择$\varepsilon_k = \varepsilon_0/2^{2k}$（其中$\varepsilon_0 > 0$），右边其实可以简化成$\frac{1}{2^n}(d(x,y) + \varepsilon_0)$，具体推导过程如下（略）。
疑问二：函数$f$到$[0,1]$全体实数的延拓
关于把$f$延拓到$[0,1]$上所有实数的步骤我也没太理解，是不是应该按下面的方式操作？
对每个非二进有理数的实数$x$，取一个收敛到$x$的二进有理数列$(x_j)$，证明$(f(x_j))$是$X$中的柯西列；再利用$X$的完备性，这个柯西列有极限$y$，就把$y$定义为$f(x)$。
接下来还要证明这个定义不依赖于所选的柯西列：取另一个收敛到$x$的柯西列$(x_j')$，将它和第一个数列合并成$(z_j)$，证明$(f(z_j))$也是柯西列；而因为$(f(z_j))$的子列$(f(x_j))$收敛到$y$，所以其他柯西列的极限也必然是$y$。