两个一致收敛序列的商的一致收敛性

嘿，这个问题问得挺关键的——其实结论是不一定成立，咱们可以通过一个具体的反例来直观理解为什么：

构造反例 #

考虑定义在区间$[0,1]$上的函数序列：

• $f_n(x) = x + \frac{1}{n}$
• $g_n(x) = x$

首先验证一致收敛性：

• $f_n$一致收敛到$f(x)=x$，因为对所有$x\in[0,1]$，$|f_n(x)-f(x)| = \frac{1}{n}$，上确界$\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-f(x)| = \frac{1}{n} \to 0$（当$n\to\infty$）；
• $g_n$本身就是恒等于$x$的序列，自然一致收敛到$g(x)=x$。

完全满足题目中的条件：当$f(x)=0$（即$x=0$）时，$g(x)=0$，且$\lim_{t\to0} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t\to0} 1 = 1 \neq 0$。

但看比值序列$\frac{f_n(x)}{g_n(x)} = 1 + \frac{1}{n x}$（$x\neq0$时），我们把它在$x=0$处补充定义为极限值1，得到目标函数$h(x)=1$。现在检查是否一致收敛：
取$x_n = \frac{1}{n^2}$，此时$\left|\frac{f_n(x_n)}{g_n(x_n)} - h(x_n)\right| = \left|1 + n - 1\right| = n$，这个差值随着$n$增大趋向于无穷，显然不符合一致收敛的要求——一致收敛需要存在某个$N$，当$n>N$时，对所有$x\in[0,1]$，差值的绝对值都能小于任意给定的$\varepsilon$，但这里零点附近的差值根本无法被统一控制。

背后的原因 #

核心问题在于：虽然$f(t)/g(t)$在零点处的极限存在，但$f_n$和$g_n$在趋近零点时的“收敛速率”不匹配。$g_n(x)$在$x$靠近0时会变得极小，而$f_n(x)$与$f(x)$的差是固定的$\frac{1}{n}$，这就导致比值的波动在零点附近被放大，无法在整个集合上实现“步调一致”的收敛。

哪怕我们补上零点处的可去间断点，也改变不了全局一致收敛不成立的事实——因为一致收敛要求的是全局统一的收敛速度，而这里零点附近的收敛速度依赖于$x$，会越来越慢，最终打破了一致收敛的条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrew Sotomayor