关于接受-拒绝算法生成Beta分布样本的证明验证及修正请求

大家好！我写了一份针对下述问题的证明，希望能得到各位的反馈，帮忙检查其中是否存在错误，如有需要请指出并修正。

问题 #

对于 $\alpha > 0$ 和 $\beta > 0$，考虑如下接受-拒绝算法：

• 生成独立同分布的均匀分布$(0,1)$随机变量 $U_1$ 和 $U_2$。
• 令 $V_1 = U_1^{1/\alpha}$，$V_2 = U_2^{1/\beta}$。
• 令 $W = V_1 + V_2$。若 $W \leq 1$，则令 $X = V_1/W$；否则回到第一步。
• 输出 $X$。

证明 $X$ 服从参数为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的Beta分布。

我的证明尝试 #

通过概率积分变换，可得 $V_1$ 和 $V_2$ 的累积分布函数分别为 $F_{V_1}(v_1) = v_1^\alpha$ 和 $F_{V_2}(v_2) = v_2^\beta$。我们需要计算：
$$
\begin{array}{ccl}
F_X(x) &= P(X \leq x) &= P\left(\frac{V_1}{V_1+V_2} \leq x \mid V_1 + V_2 \leq 1 \right) \
&&= \cfrac{P \left( \frac{V_1}{V_1+V_2} \leq x, V_1+V_2 \leq 1 \right)}{P\left( V_1 + V_2 \leq 1\right)} \
\end{array}
$$

有一种方法是直接利用 $V_1$ 和 $V_2$ 的联合概率密度函数来计算，不过我尝试通过定义特定变换来直接推导Beta分布的累积分布函数表达式。

考虑变换 $Y = \frac{V_1}{V_1+V_2}$ 和给定的 $W = V_1+V_2$，则有 $V_1 = YW$，$V_2 = W(1-Y)$。计算该变换的雅可比行列式为 $W$，因此联合概率密度函数为：
$$
\begin{array}{ll}
f_{Y,W}(y,w) &= \alpha(yw)^{{\alpha-1}\beta(w(1-y))}{\beta-1} \times w \
&= \alpha \beta w^{\alpha + \beta -1} y^{\alpha -1 }(1-y)^{\beta - 1}
\end{array}
$$

验证联合概率密度函数的规范性 #

由于 $V_1, V_2$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布变换而来，其取值范围为 $(0,1)$，因此变换后的变量 $y \in (0,1)$，$w \in (0,2)$。同时还需满足：

• $V_1 < 1$ 即 $yw < 1$
• $V_2 < 1$ 即 $w(1-y) < 1$

将上述约束转化为 $w$ 关于 $y$ 的范围：
$$
\begin{array}{ll}
0 < w < \frac{1}{1-y} & \text{，当 } 0 < y < 1/2 \text{ 时，} \
0 < w < \frac{1}{y} & \text{，当 } 1/2 < y < 1 \text{ 时。}
\end{array}
$$

我们需要验证联合概率密度函数在上述区域上的积分等于1：
$$
\int_0^{1/2} \int_{0}^{1/(1-y)} f_{Y,W}(y,w) dw dy + \int_{1/2}^{1} \int_{0}^{1/y} f_{Y,W}(y,w) dw dy = 1.
$$

计算过程如下：
$$
\begin{array}{ll}
&\int_0^{1/2} \int_{0}^{1/(1-y)} \alpha \beta w^{\alpha + \beta -1} y^{\alpha -1 }(1-y)^{\beta - 1} dw dy + \int_{1/2}^{1} \int_{0}^{1/y} \alpha \beta w^{\alpha + \beta -1} y^{\alpha -1 }(1-y)^{\beta - 1} dw dy \
= & \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \left{ \int_0^{1/2} \frac{y^{\alpha -1 }}{(1-y)^{\alpha + 1}} dy + \int_{1/2}^{1} \frac{(1-y)^{\beta - 1}}{y^{\beta +1 }} dy \right}\
= & \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \left{ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right} \
= &1.
\end{array}
$$

这说明推导得到的联合概率密度函数是规范的！

推导 $F_X(x)$ #

现在我们计算 $F_X(x)$ 表达式中的分子和分母：

分子部分：$P \left( \frac{V_1}{V_1+V_2} \leq x, V_1+V_2 \leq 1 \right)$

该概率对应联合分布中 $Y \leq x$ 且 $W \leq 1$ 的区域，积分计算如下：
$$
\begin{array}{ll}
P \left( \frac{V_1}{V_1+V_2} \leq x, V_1+V_2 \leq 1 \right) &= P \left( Y \leq x, W \leq 1 \right)\
&= \int_0^{x} \int_{0}^{1} \alpha \beta w^{\alpha + \beta -1} y^{\alpha -1 }(1-y)^{\beta - 1} dw dy \
&= \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \cdot \frac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)} I(x,\alpha,\beta)
\end{array}
$$
其中 $I(x,\alpha,\beta)$ 是不完全Beta函数，即标准Beta分布的累积分布函数。

分母部分：$P \left( V_1+V_2 \leq 1 \right)$

该概率对应联合分布中 $W \leq 1$ 的区域，积分计算如下：
$$
\begin{array}{ll}
P \left( V_1+V_2 \leq 1 \right) &= P \left( W \leq 1 \right)\
&= \int_0^{1} \int_{0}^{1} \alpha \beta w^{\alpha + \beta -1} y^{\alpha -1 }(1-y)^{\beta - 1} dw dy \
&= \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} \cdot \frac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}
\end{array}
$$

将分子除以分母，最终可得 $F_X(x) = I(x,\alpha,\beta)$，即 $X$ 服从参数为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的Beta分布。

麻烦各位帮我检查一下这份证明中是否存在错误，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TryingHardToBecomeAGoodPrSlvr