自由代数上的关系

嘿，这个问题问到点子上了——其实在带关系的代数结构类和它们的归约类之间，确实有几种挺规范的方式给归约类的自由代数补上原来的关系，我给你拆解一下：

首先得明确背景：你说的$K$是带运算、常量还有关系的结构类，$L$是把$K$里的结构砍掉关系，只保留运算和常量得到的归约类，现在要给$L$的自由代数$F_L(X)$定义原来$K$里的那些关系符号的实现对吧？

分两种常见情况来看：

情况1：$K$里的关系都是等式关系 #

如果$K$的关系都是像$t_1 = t_2$这样的等式（比如群里的结合律、逆元等式，环里的分配律这些），那事情就很直接：

• 我们可以先找出$K$中所有等式公理在$F_L(X)$上生成的同余关系$\theta$——简单说就是把所有能通过$K$的等式推导出来的等价元素都归为一类。
• 然后在$F_L(X)$上定义关系：对于等式对应的关系（比如$R(x,y)$就是$x=y$的变种，或者直接就是等式），两个元素$s,t \in F_L(X)$满足$R(s,t)$当且仅当$s \equiv t \pmod{\theta}$。
• 更本质的是，$F_L(X)/\theta$其实就是$K$的自由代数$F_K(X)$——这时候关系在商代数上是自然满足的，而如果非要在原自由代数$F_L(X)$上定义，上面的同余条件就是最规范的方式。

举个例子：$K$是群类（带逆元等式），$L$是幺半群类（只保留乘法和单位元），$F_L(X)$是$X$生成的自由幺半群（就是所有$X$中元素的有限序列，乘法是拼接）。群里的“逆元”关系，在自由幺半群上就只能定义为：只有空序列（对应单位元$e$）和自身满足“互为逆元”，其他元素都找不到对应的逆元——而把自由幺半群模掉逆元等式生成的同余，得到的就是自由群，这时候逆元关系就自然成立了。

情况2：$K$里的关系是更一般的一阶关系 #

如果$K$的关系不是单纯的等式，而是像$\forall x R(x,f(x))$或者$\exists y R(x,y)$这种更复杂的一阶公理，那最规范的方式是用句法可证性来定义：

• 对于$F_L(X)$中的元素$s_1,s_2,...,s_n$，我们定义$R(s_1,...,s_n)$成立，当且仅当从$K$的所有公理（运算公理+关系公理）出发，能通过一阶逻辑的推理规则证明：在$K$的任何结构中，$R(s_1,...,s_n)$都成立。
• 这种定义的好处是完全由$K$的公理系统决定，而且符合泛性质：任何从$F_L(X)$到$K$中某个结构$A$的同态$h$，都会保持这个关系——如果$R(s_1,...,s_n)$在$F_L(X)$中成立，那$R(h(s_1),...,h(s_n))$在$A$中一定成立，因为$A$满足$K$的所有公理，可证的句子在所有模型里都成立。

不过要注意，如果$K$的关系公理是存在性的（比如$\forall x \exists y R(x,y)$），那在$F_L(X)$上用这种方式定义的关系可能会“很稀疏”——除非你能从公理出发，给某个元素$s$构造出对应的$t$，证明$R(s,t)$，否则这个关系对$s$和任何$t$都不成立。

总结一下 #

简单说，规范的定义方式取决于$K$中关系的类型：

• 等式关系：用同余等价类来定义，或者直接过渡到$K$的自由代数（商代数）；
• 一般一阶关系：用句法可证性来定义，这是最贴合公理系统的规范方式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Juraj Hartman