关于里奇张量与黎曼曲率张量指标对应、及张量同构相关概念的疑问

一、里奇张量与黎曼曲率张量的指标对应困惑 #

我从课堂笔记里得到黎曼曲率张量的系数公式是：
$$R^i_{jk\ell} = \partial_j\Gamma^{i_{k\ell}-\partial_k\Gamma}{i}{j\ell}+\Gamma^{m_{k\ell}\Gamma}{i}{jm}-\Gamma^{{m}_{j\ell}\Gamma}{i}{km}.$$
而根据维基百科，里奇张量的表达式是：
$$\operatorname{Ric}{jk} = R^{i}{jik} \quad (\text{with ESC}) = \partial_i \Gamma^{{i}_{jk}-\partial_j\Gamma}{i}{ki}+\Gamma^{{i}_{ip}\Gamma}{p}{jk}-\Gamma^{{i}_{jp}\Gamma}{p}{ik}$$
我尝试把第二个表达式里的$p$换成$m$，再结合课堂笔记的公式，得到了$$R^i_{ijk} = \operatorname{Ric}{jk}$$，但这明显不对，正确的应该是$$R^{i}{jik} = \operatorname{Ric}_{jk}.$$ 我到底哪里弄错了？

二、张量同构与里奇张量迹定义的困惑 #

另外我还搞不懂，对于伪黎曼流形$(M,g)$上的点$p \in M$，以及切向量$v,w \in T_pM$，为什么有：
$$R(v,w) = \operatorname{tr} (\underbrace{u \mapsto R_{u,v}w}{\in (T_pM)^{1}{1}}) = \operatorname{tr}g\underbrace{((u,z) \mapsto R(u,v,w,z)}{\in (T_pM)^{0}_{2}})$$

我们学过这样的同构：$$\mathcal{T}^{1}{s} \cong L^{s}_{C{\infty}}(M,\mathfrak{X}(M))$$，其中$A \in L^{s}_{C{\infty}}(M,\mathfrak{X}(M))$是一个$C^{\infty}(M)$-多线性映射，满足：
$$A:\underbrace{\mathfrak{X}(M) \times \ldots \times \mathfrak{X}(M)}{s} \to \mathfrak{X}(M)$$
并且对于张量$t \in \mathcal{T}^{{1}_{s}(M)$，它的系数函数$t}{i}{j_1,\ldots,j_s}$满足：
$$t^{i}{j_1,\ldots,j_s} = dx^{i}(A|{U}(\partial{j_1},\ldots,\partial_{j_s}))$$

在我们的例子里，我觉得$A|{U}$应该对应$A|{U}(u) = R_{u,v}w$，当$u = \partial_i$时，就有：
$$t^{i}{i} = dx^iA|{U}(\partial_i) = dx^i(R_{\partial_i,\partial_j}\partial_k) = \operatorname{Ric}(\partial_j,\partial_k)?$$
我觉得这个推导好像也有问题，另外我们课程里提到的“张量重构引理”（我觉得“张量刻画引理”是它的特例）应该能证明这个同构，但我还是没搞明白自己的误区在哪里。

补充编辑：后来我看到一些笔记里写着：
$$\operatorname{Ric} = \sum_{i,j = 1}^{n} \operatorname{Ric}{ij}dx^i \otimes dx^j = \sum{i,j = 1}^{n} \Big(\sum_{k = 1}^{n} R^k_{kij}\Big) dx^i \otimes dx^j$$
这个看起来和我之前的想法更契合，但还是没理清整个逻辑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben123