积分换元后上下限均趋向无穷的处理方法及相关困惑求助

我之前碰到过一个类似的积分问题，但对应的讨论并没有彻底解决我的疑问，所以想再详细聊聊我的困惑。

先来看这个积分：
$$ I = \int_0^\infty \frac{x^2-1}{x4+1} dx$$

把分子分母同时除以$x^2$后，式子可以转化为：
$$ I = \int_0^\infty \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x2+\frac{1}{x^2}} dx = \int_0^\infty \frac{1-\frac{1}{x^{2}}{({x+\frac{1}{x}})}2-2} dx$$

接下来我做了换元$u = x + \frac{1}{x}$，这时候积分就变成了：
$$I= \int_\infty^\infty \frac{du}{u^2-2}$$

之前看到的建议是，换元必须满足单射（injective），如果不满足的话，就要把积分拆分成换元是单射的区间来处理。我按照这个方法拆分了积分：
$$I= \int_\infty^2 \frac{du}{u^2-2} + \int_2^\infty \frac{du}{u^2-2} = \int_\infty^2 \frac{du}{u^{2-2}-\int_\infty}2 \frac{du}{u^2-2}=0$$

结果$I=0$是正确的，但我心里一直有个疑问：最后一步里的两个无穷大，我怎么能确定它们是“等价”的？如果换一个别的积分，会不会出现这两个无穷大“不等”的情况？还是说我处理这个积分的方式本身就存在问题？麻烦各位大佬帮忙解答一下！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Swan