关于布朗运动首达时$T_a$与$\frac{a^2}{B_1^2}$同分布证明的疑问

你完全找对了关键点！这个疑问其实就是概率里零概率事件不影响概率计算的典型应用，咱们一步步理清楚：

首先先回顾原定理和证明过程：

定理：对任意$a>0$，首达时$T_a = \inf{t\ge 0: B_t = a}$与$\frac{a^2}{B_12}$同分布，其密度为$f(t)=\frac{a}{\sqrt{2\pi t^3}} \exp(-\frac{a^2}{2t})1_{{t>0}}$。

证明过程：
$$P(T_a\le t)=P(S_t\ge a)=P(|B_t|\ge a)=P(B_t^2\ge a^2)=P(tB_12\ge a^2)=P(\frac{a2}{B_1^2}\le t).$$

你的疑问集中在最后一步等式：为什么可以直接两边除以$B_1^2$，毕竟$B_1$可能取0？答案正是你猜想的那样，核心原因是**$B_1$取0的概率为0**：

• $B_1$是标准正态随机变量，正态分布在单点处的概率为0，即$P(B_1=0)=0$。
• 对于任何事件$A$，$P(A) = P(A \cap {B_1 \neq 0})$，因为零概率事件${B_1=0}$不会对概率值产生任何影响。

回到证明的最后一步：

1. $P(tB_1^2 \ge a^2) = P(tB_1^2 \ge a^2, B_1 \neq 0)$，因为当$B_1=0$时，$tB_1^2=0 < a^{2$（毕竟$a>0$），所以${tB_1}2 \ge a^2}$和${tB_12 \ge a^2, B_1 \neq 0}$是完全等价的事件。
2. 在$B_1 \neq 0$的条件下，$B_1^{2>0$，此时不等式$tB_1}2 \ge a^{2$可以两边同时除以$B_1}2$，得到$t \ge \frac{a^2}{B_12}$，所以$P(tB_1^2 \ge a^2, B_1 \neq 0) = P(t \ge \frac{a^2}{B_12}, B_1 \neq 0)$。
3. 又因为$P(B_1 \neq 0)=1$，所以$P(t \ge \frac{a^2}{B_12}, B_1 \neq 0) = P(t \ge \frac{a^2}{B_12})$，也就是$P(\frac{a^2}{B_12} \le t)$。

所以整个推导是完全严谨的，你的理解完全正确！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nomadicmathematician