关于商拓扑群典范投影的开性及ρ⁻¹(ρ(U))=UH的疑问

嘿，我完全懂你学习拓扑群时卡在这个点上的感受——其实这个等式的核心根本不需要扯拓扑，先从群论的基础定义就能拆解明白，咱们一步步来：

首先回忆下典范投影$\rho: G \to G/H$的定义：对任意$g \in G$，$\rho(g) = gH$，也就是把群元素映射到它所在的左陪集。

那先看左边的$\rho^{-1}(\rho(U))$：它是$G$中所有满足$\rho(g) \in \rho(U)$的元素$g$的集合。翻译成人话就是，存在某个$u \in U$，使得$\rho(g) = \rho(u)$。

那$\rho(g) = \rho(u)$意味着什么？根据陪集相等的充要条件：$gH = uH$等价于$u^{-1}g \in H$，也就是$g = u \cdot h$，其中$h \in H$。

那所有满足这个条件的$g$，不就是所有$U$里的元素和$H$里的元素相乘得到的集合吗？也就是$UH = { u h \mid u \in U, h \in H }$。

咱们再反过来验证一遍，确保没漏洞：任意取$x \in UH$，那$x = u h$（$u \in U, h \in H$），根据商投影的定义，$\rho(x) = (u h)H = u(hH) = uH = \rho(u)$，所以$\rho(x) \in \rho(U)$，自然$x \in \rho^{-1}(\rho(U))$。

这样两边就互相包含了，等式$\rho^{-1}(\rho(U))=UH$就成立啦。

至于拓扑层面的开性，其实是这个等式的延伸：如果$U$是$G$中的开集，那$UH$是若干个开集的并（每个$uH$都是$H$经过左平移得到的，而拓扑群里的左平移是同胚，所以每个$uH$都是开集），因此$UH$是开集；而商投影$\rho$是开映射的原因，也正是因为$\rho(U)$的原像$UH$是开集，结合商拓扑的定义就能推出$\rho(U)$是$G/H$中的开集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Volodymyr Savin