关于函数$f(z)$在$z=0$处是否全纯（holomorphic）的技术问询

我正在研究这个复函数：
$$
f(z) = \frac{\mathrm{Im}(z^2)}{|z|2} \quad (z \neq 0)
$$
同时规定当$z=0$时，$f(0)=0$。

我把$z=x+iy$代入展开后，得到了实部形式：
$$
f(z) = \frac{2xy}{x^2+y2}
$$
如果把$f$写成复函数的标准形式$f=u+iv$，这里$u=f$，而$v=0$。

接下来我计算了$u$的两个偏导数：
$$
u_x = \frac{2y (y^2 - x^2)}{{(x2+y^2)}2}, \quad u_y = \frac{2x (x^2 - y^2)}{{(x2+y^2)}2}
$$

因为$v=0$，所以柯西-黎曼方程就变成了$u_x=0$且$u_y=0$。解这两个方程的话，要么是$x=y=0$，要么是$x=\pm y$。这么看来，$f(z)$在$z=0$以及直线$x=\pm y$上是复可导的。

不过我现在有个疑问：$f(z)$在$z=0$处是全纯的吗？我自己的判断是不是，因为全纯的定义要求函数在该点的一个邻域内处处复可导，但$z=0$的任何邻域里都存在不在$x=\pm y$上的点，这些点不满足柯西-黎曼方程，自然也就不可导。

欢迎各位大佬批评指正，如果我的思路完全跑偏了，也请帮我指个方向~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者oakley09