关于使用收缩-删除定理计算特定图的色多项式时的结果矛盾问题咨询

我最近在计算一个图的色多项式时，遇到了结果矛盾的问题，想请大家帮忙找找错处。

具体来说，我考虑的是一个有5个顶点（标记为1到5）的图G，它的边集合是{(12), (13), (23), (34), (45)}——简单说就是包含一个三角形(123)，再加上两条串联的边(34)和(45)。我想用收缩-删除定理来计算它的色多项式，选定的边是e=(13)，定理的公式是：
P(G,k) = P(G-e,k) - P(G/e,k)

我的计算步骤如下：

• 去掉边e后的图G-e：我认为这是一棵有5个顶点的树，所以它的色多项式是k(k-1)^4
• 收缩边e后的图G/e：我认为这是一棵有4个顶点的树，色多项式是k(k-1)^3
• 把这两个结果代入公式，得到P(G,k) = k(k-1)^4 - k(k-1)^3 = k(k-1)^3(k-2)

但我在一篇论文里看到，这个图的色多项式应该是k^2(k-1)(k-2)，和我的计算结果完全不同。我反复检查了好几遍，还是找不到哪里出错了，有没有大佬能帮我分析一下问题所在？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者palio