关于最大化高斯/三角混合积分的技术问询

我最近碰到一个积分最大化的问题，想请教各位怎么给出严谨的证明。具体问题如下：

给定参数 $a\in [0,1]$，$\alpha\in [0,2\pi)$，且 $\beta\gg 1$（$\beta$ 是远大于1的常数），我们把 $a$ 和 $\beta$ 视为固定值，考虑如下积分：
$$I_\alpha :=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x-\alpha|2 + \beta a\cos(x)}dx.$$
我的目标是证明：这个积分在 $\alpha=0$ 时取得最大值。

当 $a=0$ 的时候，问题很简单——用高斯函数的傅里叶变换就能直接得出结论。但当 $a\in (0,1]$ 时，我只有一个直观的想法：如果 $\alpha$ 越靠近0，高斯项 $e^{-|x-\alpha|2}$ 的峰值就越靠近三角函数项 $e^{\beta a \cos(x)}$ 的峰值（毕竟 $\cos(x)$ 在 $x=0$ 处取到最大值1），所以积分 $I_\alpha$ 应该会随之增大。但我一直没法把这个直觉转化为严谨的数学证明。

我尝试过对 $\alpha$ 求一阶导数，然后证明导数仅在 $\alpha=0$ 处为0，但这样会得到一个更复杂的积分，处理起来特别棘手。有没有什么更巧妙的分析思路或者技巧能解决这个问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nik Quine