我的正弦近似算法是否在精度/性能上优于Remez算法？

这是目前最紧凑的正弦近似算法，在精度与性能表现上，它能够胜过Remez算法。以下是针对[0, π/2]区间的近似实现：

double p[] = {
    -0.0020836519336891552,
    -0.016434778826652056,
    -0.14814815034514656
};
double P1(double x, double a) {
    return x + (a * x) * (x * x);
}
// 无穷范数误差：7.415237313068701e-9
double sine_approximate(double x) {
    return P1(P1(P1(x,p[0]),p[1]),p[2]);
}

针对float32的实用实现 #

// 最大ULP误差=2.49524，最大无穷范数误差=9.88345e-08
float p[] = {
    -0.0020836557,
    -0.016434766,
    -0.14814815
};

实用double64实现 #

// 无穷范数误差：2.22e-16
double p[] = {
    -0.00002581064752010963,
    -0.00020280816250387983,
    -0.00182899436357092772,
    -0.01646090534492345922,
    -0.14814814814814814
};

与Remez算法的精度/性能对比 #

优势：

• 紧凑性（在大量近似场景中至关重要）
• 通用性强
• 具备高阶导数特性
• 区间外优化表现更优
• 近似函数的逆函数实现简单

劣势：

• 无法利用并行计算
• 仅依赖数值最小化，缺乏数学理论支撑
• 尚无选择最优基础函数组合的规则

其他三角函数近似实现 #

余弦近似可采用1-0.5xP1(P1(P1))的形式实现；正切近似则基于R1 = x / (1.0f + k * x * x)的结构，具体实现如下：

inline float r(float x, float k) { return x / (1.0f + k * x * x); }
inline float tan_approx(float x)
{
    // 最大ULP误差=3.82904，最大相对误差=2.70230e-07，最大绝对误差=2.28229e-07
    float a = -0.078562208;
    float b = -0.0089859413;
    float c = -0.24578492;
    return r(r(r(x, a), b), c);
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者minorlogic